Комбинация многоугольников и окружностей
Задание 25 — Геометрические задачи повышенной сложности (26 заданий)
Справочник формул
Все формулы и теоремы для экзамена — алгебра, геометрия, функции, статистика
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен $\frac{4}{3}$. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен (4)/(3). Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в ее середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.
Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в ее середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.
Диагонали четырехугольника ABCD , вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке M . Известно, что $\angle ABC = 72^\circ$, $\angle BCD = 102^\circ$, $\angle AMD = 110^\circ$. Найдите $\angle ACD.$
Диагонали четырехугольника ABCD , вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке M . Известно, что ∠ ABC = 72^°, ∠ BCD = 102^°, ∠ AMD = 110^°. Найдите ∠ ACD.
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите $\angle ABC$, если $\angle KCB = 20^{\circ}$ градусов.
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите ∠ ABC, если ∠ KCB = 20 градусов.
В треугольнике ABC угол B равен 120°, а длина стороны AB на $3 \sqrt{3}$ меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC .
В треугольнике ABC угол B равен 120°, а длина стороны AB на 3 √(3) меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC .
В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 8, катет BC равен 15. Найдите радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы треугольника и касается прямой BC.
В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 8, катет BC равен 15. Найдите радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы треугольника и касается прямой BC.
Длина катета AC прямоугольного треугольника ABC равна 8 см. Окружность с диаметром AC пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что $\frac{AM}{MB}=\frac{16}{9}.$
Длина катета AC прямоугольного треугольника ABC равна 8 см. Окружность с диаметром AC пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что (AM)/(MB)=(16)/(9).
На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.
На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.
Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в ее середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7.
Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в ее середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7.
На стороне BC остроугольного треугольника ABC ( AB \neq AC ) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD = 27, MD = 18, H — точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH .
На стороне BC остроугольного треугольника ABC ( AB ≠ AC ) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD = 27, MD = 18, H — точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH .
Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 17 и MB = 19. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.
Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 17 и MB = 19. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны $38^{\circ}$, $78^{\circ}$ и $64^{\circ}$.
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38^(°), 78^(°) и 64^(°).
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если $\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{11}}{6}$.
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos ∠ BAC = (√(11))/(6).
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Высоты остроугольного треугольника ABC, проведенные из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках $B_1$ и $C_1$. Оказалось, что отрезок $B_1$ $C_1$ проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.
Высоты остроугольного треугольника ABC, проведенные из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B_1 и C_1. Оказалось, что отрезок B_1 C_1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.
Середина M стороны AD выпуклого четырехугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 10, а углы B и C четырехугольника равны соответственно $112^{\circ}$ и $113^{\circ}$.
Середина M стороны AD выпуклого четырехугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 10, а углы B и C четырехугольника равны соответственно 112^(°) и 113^(°).
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 84, AC = 98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 84, AC = 98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 12, BC = 18 и CD = 8.
На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 12, BC = 18 и CD = 8.
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 20.
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 20.
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 12.
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 12.
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны $49^{\circ}$, $69^{\circ}$ и $62^{\circ}$.
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 49^(°), 69^(°) и 62^(°).
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 7 : 3 . Прямая AK пересекает сторону BC в точке P . Найдите отношение площади треугольника BKP к площади четырехугольника KPCM .
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 7 : 3 . Прямая AK пересекает сторону BC в точке P . Найдите отношение площади треугольника BKP к площади четырехугольника KPCM .
В выпуклом четырехугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырехугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 14, SQ = 4.
В выпуклом четырехугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырехугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 14, SQ = 4.
Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 96, тангенс угла BAC равен $\frac{8}{15}$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 96, тангенс угла BAC равен (8)/(15). Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B, в отношении 17 : 15, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если $BC = 16.$
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B, в отношении 17 : 15, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 16.