Задание 25 — №311574
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Диагонали четырехугольника ABCD , вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке M . Известно, что $\angle ABC = 72^\circ$, $\angle BCD = 102^\circ$, $\angle AMD = 110^\circ$. Найдите $\angle ACD.$
Диагонали четырехугольника ABCD , вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке M . Известно, что ∠ ABC = 72^°, ∠ BCD = 102^°, ∠ AMD = 110^°. Найдите ∠ ACD.
Решение
- 1
Заметим, что углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому положим: $a=\angle ABD=\angle ACD$, $b=\angle DBC$, $c=\angle ACB$.
- 2
Из условия известно, что $\angle ABC=72^\circ$. Так как этот угол состоит из $\angle ABD$ и $\angle DBC$, получаем уравнение: $a+b=72^\circ$.
- 3
Аналогично, $\angle BCD=102^\circ$, который равен сумме $\angle ACD$ и $\angle ACB$, то есть: $a+c=102^\circ$.
- 4
По условию, диагонали пересекаются в точке $M$ и $\angle AMD=110^\circ$. Тогда угол, смежный с ним, равен $\angle DMC=180^\circ-110^\circ=70^\circ$. Заметим, что $\angle DMC=b+c$, откуда получаем: $b+c=70^\circ$.
- 5
Складывая уравнения $a+b=72^\circ$ и $a+c=102^\circ$, получаем: $2a+(b+c)=174^\circ$. Подставляем $b+c=70^\circ$: $2a+70^\circ=174^\circ$, откуда $2a=104^\circ$ и $a=52^\circ$.
- 6
Так как $a=\angle ACD$, итоговый ответ: $\angle ACD=52^\circ$.
Ответ: 52°