Задание 25 — №311581
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите $\angle ABC$, если $\angle KCB = 20^{\circ}$ градусов.
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите ∠ ABC, если ∠ KCB = 20 градусов.
Решение
- 1
Шаг 1: Обозначим точку пересечения отрезков $AE$ и $CK$ как $D$. Так как $AE \perp CK$, то в треугольнике $CDE$ угол $CDE$ равен $90°$. По свойству прямоугольного треугольника (сумма двух острых углов равна $90°$) получаем: $$\angle DEC=90°-\angle KCB=90°-20°=70°.$$
- 2
Шаг 2: Рассмотрим треугольник $BEA$. По теореме о сумме углов в треугольнике ($\angle BEA+\angle BAE+\angle ABE=180°$) и учитывая расположение углов, находим дополнительный угол: $$\angle BEA=180°-\angle DEC=180°-70°=110°.$$
- 3
Шаг 3: Применяем теорему об одинаковых вписанных углах, согласно которой углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Поэтому $\angle BAE=\angle BCK$. Это приводит к тому, что угол у точки $K$ в треугольнике с вершинами $B$, $K$, $C$ равен: $$\angle BKC=\angle BEA=110°.$$
- 4
Шаг 4: Рассмотрим четырехугольник $BKDE$. По свойству четырехугольника сумма внутренних углов равна $360°$. Известно, что один из углов равен $90°$ (из-за перпендикулярности $AE$ и $CK$), а два других угла равны по $110°$. Тогда находим искомый угол: $$\angle KBE=360°-90°-2\cdot 110°=360°-90°-220°=50°.$$ Таким образом, $\angle ABC=50°$.
Ответ: 50°