Задание 25 — №52
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение
- 1
Шаг 1: Обозначим, что центр заданной окружности есть $O_x$, а центр вписанной окружности – $Q$. Точка касания окружностей с основанием $AC$ обозначается как $M$. Так как $M$ делит основание пополам, то $AM = MC = 6$ (так как $AC = 12$).
- 2
Шаг 2: По условию задачи стороны, к которым проведены касательные, так расположены, что отрезки $AQ$ и $AO_x$ являются биссектрисами смежных углов при вершине $A$. Это означает, что угол $O_xAQ$ равен $90^\circ$.
- 3
Шаг 3: В прямоугольном треугольнике $O_xAQ$ применим теорему о высоте (среднее геометрическое), согласно которой квадрат отрезка, образованного точкой касания основания, равен произведению длин отрезков, на которые эта точка делит гипотенузу. Запишем это соотношение: $$AM^2 = MQ \cdot MO_x.$$ Подставляем известные значения: $AM = 6$ и $MO_x = 8$, получаем: $$6^2 = MQ \cdot 8.$$
- 4
Шаг 4: Вычисляем уравнение: $$36 = 8 \cdot MQ \quad \Longrightarrow \quad MQ = \frac{36}{8} = 4,5.$$ Таким образом, радиус вписанной окружности в треугольник $ABC$ равен $4,5$.
Ответ: 4,5