Задание 25 — №130

1. Выясняем соотношение углов. Так как треугольник $ABC$ имеет прямой угол в $C$, то по свойству углов в прямоугольном треугольнике $\angle BAC=90^\circ-\angle ABC$. Проведённая из вершины $C$ высота образует угол $\angle BCP=90^\circ-\angle ABC$. Отсюда следует, что $\angle BAC=\angle BCP$.

2. Рассмотрим треугольник $BCP$. По определению тангенса: $\tan \angle BCP=\frac{BP}{PC}$. По условию $\tan \angle BCP=\frac{4}{3}$, поэтому положим $BP=4x$ и $PC=3x$. Применяем теорему Пифагора: $BC=\sqrt{(4x)^2+(3x)^2}=\sqrt{16x^2+9x^2}=5x$.

3. Найдём значение параметра $x$ в треугольнике $BCP$. Площадь прямоугольного треугольника можно найти как $S=\frac{BP\cdot PC}{2}$. Подставляем: $S=\frac{4x\cdot3x}{2}=6x^2$. С другой стороны, для любого треугольника справедлива формула: $S=\frac{P\cdot r}{2}$, где $P$ --- периметр, а $r$ --- радиус вписанной окружности. Периметр треугольника $BCP$ равен $P=BP+PC+BC=4x+3x+5x=12x$.

При $r=8$ получаем: $$6x^2=\frac{12x\cdot8}{2}=48x.$$ Решая уравнение $6x^2=48x$, делим обе части на $6x$ (при $x\neq0$) и получаем $x=8$.

4. Подставляем $x=8$: $BP=4\cdot8=32$, $PC=3\cdot8=24$ и $BC=5\cdot8=40$.

5. Определяем стороны треугольника $ABC$. В треугольнике $ABC$ с прямым углом в $C$ для угла $\angle BAC$ справедливо соотношение: $$\tan \angle BAC=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}=\frac{BC}{AC}.$$ По условию $\tan \angle BAC=\frac{4}{3}$, откуда $\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$. Подставляем $BC=40$ и находим $AC=\frac{3}{4}\cdot40=30$. По теореме Пифагора находим гипотенузу: $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{30^2+40^2}=50$.

6. Находим радиус вписанной окружности треугольника $ABC$. Площадь треугольника $ABC$ равна $S=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{30\cdot40}{2}=600$, а периметр $P=AC+BC+AB=30+40+50=120$. Применяем формулу: $$S=\frac{P\cdot r}{2},$$ то есть $600=\frac{120\cdot r}{2}=60r$. Отсюда находим $r=\frac{600}{60}=10$.