Задание 25 — №156

Шаг 1: Так как медиана $BM$ треугольника $ABC$ проходит через середину стороны $AC$, точка $M$ является серединой $AC$. При $AC=4$ получаем, что $AM=MC=\frac{4}{2}=2$.

Шаг 2: По условию, $BM$ является диаметром окружности, которая пересекает сторону $BC$ в её середине. Обозначим центр окружности за $O$ (середину $BM$), а точку пересечения с $BC$ за $N$.

Шаг 3: Рассмотрим треугольник $BMC$, в котором $O$ и $N$ --- середины сторон $BM$ и $BC$. По теореме о средней линии (средняя линия в треугольнике параллельна основанию и равна его половине) находим: $$ON=\frac{MC}{2}=\frac{2}{2}=1.$$

Шаг 4: Отрезок $ON$ является радиусом данной окружности, то есть $r=1$. Тогда, так как $BM$ --- диаметр, получаем $BM=2r=2$. Применяя теорему Фалеса, так как угол $\angle BNM$ опирается на диаметр $BM$, имеем $$\angle BNM=90^{\circ},$$ то есть треугольник $BNM$ прямоугольный.

Шаг 5: Поскольку $MN$ является средней линией в треугольнике $BMC$, она параллельна стороне $AB$. Это позволяет сделать вывод, что треугольник $ABC$ является прямоугольным. А в прямоугольном треугольнике описанная окружность имеет центр на середине гипотенузы. При $AC=4$ гипотенуза равна $4$, тогда радиус описанной окружности равен $$\frac{4}{2}=2.$$