Задание 25 — №311668
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
В треугольнике ABC угол B равен 120°, а длина стороны AB на $3 \sqrt{3}$ меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC .
В треугольнике ABC угол B равен 120°, а длина стороны AB на 3 √(3) меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC .
Решение
- 1
По свойству касательных к окружности, проведённых из одной точки, касательные равны, то есть $AL=AM$. Это означает, что длины ломаных $ACK$ и $ABK$ равны полупериметру $p$ треугольника.
- 2
По условию, $AB=p-3\sqrt{3}$. Так как длина ломаной $ABK$ равна $p$, то отложив от $p$ сторону $AB$, получаем, что $BK=p-(p-3\sqrt{3})=3\sqrt{3}$.
- 3
Центр искомой окружности находится на биссектрисе внешнего угла при вершине $B$. В прямоугольном треугольнике $BKO$ (где $O$ --- центр окружности, а $K$ --- точка касания) угол между биссектрисой и касательной равен $\frac{180°-120°}{2}=30°$ (свойство биссектрисы внешнего угла).
- 4
В прямоугольном треугольнике с углом $30°$ противолежащий катет равен половине гипотенузы. Запишем: $KO=\frac{1}{2}BO$. Так как $BO=\frac{BK}{\cos30°}$, подставляем $BK=3\sqrt{3}$ и $\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$KO=\frac{1}{2}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\cdot6=3.$$
- 5
Таким образом, радиус искомой окружности равен $3$.
Ответ: 3