Задание 25 — №311702

Шаг 1. По теореме Пифагора (формула: $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}$) находим гипотенузу: $AB=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$.

Шаг 2. По условию окружность проходит через точки $A$ и $B$, а также касается прямой $BC$ в точке $B$. По свойству касательной, если радиус проведён к точке касания, он перпендикулярен касательной, то есть $OB\perp BC$.

Шаг 3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AC$ и $BC$ перпендикулярны ($AC\perp BC$). Так как $OB\perp BC$, получаем, что прямые $OB$ и $AC$ параллельны: $OB\parallel AC$.

Шаг 4. Центр окружности $O$ равноудален от точек $A$ и $B$ (так как $OA=OB$), значит, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Обозначим середину $AB$ через $M$, где $BM=\frac{AB}{2}=\frac{17}{2}$.

Шаг 5. Так как $OB\parallel AC$, углы $\angle MBO$ и $\angle BAC$ равны (накрест лежащие углы при секущей $AB$). Это означает, что треугольники $ACB$ и $BMO$ подобны. Коэффициент подобия равен $\frac{BM}{AC}$. Подставляем: $\frac{BM}{AC}=\frac{\frac{17}{2}}{8}=\frac{17}{16}$.

Шаг 6. По подобию треугольников отношение сторон сохраняется, поэтому $$OB=\frac{BM}{AC}\cdot AB=\frac{17}{16}\cdot 17=\frac{289}{16}$$. Таким образом, радиус искомой окружности равен $\frac{289}{16}$.