Задание 25 — №311703
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Длина катета AC прямоугольного треугольника ABC равна 8 см. Окружность с диаметром AC пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что $\frac{AM}{MB}=\frac{16}{9}.$
Длина катета AC прямоугольного треугольника ABC равна 8 см. Окружность с диаметром AC пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что (AM)/(MB)=(16)/(9).
Решение
- 1
Положим, что $AM=16x$, $MB=9x$ (так как $\frac{AM}{MB}=\frac{16}{9}$) и, следовательно, $AB=AM+MB=25x$. Обозначим также $BC=y$ и запишем, что $AC=8$.
- 2
Применяем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом при $C$: $AC^2+BC^2=AB^2$. Подставляя $AC=8$ и $AB=25x$, получаем $8^2+y^2=(25x)^2$, то есть $64+y^2=625x^2$. Отсюда $y^2=625x^2-64$.
- 3
Используем теорему о секущей и касательной. Из внешней точки $B$ к окружности с диаметром $AC$ проведена касательная $BC$, а секущая проходит через точки $M$ и $A$. Согласно теореме: $BC^2=BM\cdot BA$. Подставляем $BM=9x$ и $BA=25x$, получаем $y^2=9x\cdot25x=225x^2$.
- 4
Приравниваем два полученных выражения для $y^2$: $625x^2-64=225x^2$. Вычитая $225x^2$, получаем $400x^2=64$, откуда находим $x^2=\frac{64}{400}=\frac{4}{25}$.
- 5
Подставляем $x^2=\frac{4}{25}$ в равенство $y^2=225x^2$: $y^2=225\cdot\frac{4}{25}=\frac{900}{25}=36$. Находим $y=\sqrt{36}=6$.
- 6
Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна $S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC$. Подставляем $AC=8$ и $BC=6$: $S=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6=24$ см$^2$.
Ответ: 24 см2