Задание 25 — №311705

Пусть вершины $A$, $B$, $C$ ромба $ABCD$ расположены на окружности с радиусом $3$, а вершины $A$, $B$, $D$ расположены на окружности с радиусом $4$. Обозначим сторону ромба через $x$ и угол $\angle BAC$ через $\alpha$.

В треугольнике $ABC$, вписанном в окружность с радиусом $3$, применим теорему синусов, которая утверждает: $$\frac{x}{\sin{\alpha}}=2\cdot 3=6.$$ Отсюда находим: $$\sin{\alpha}=\frac{x}{6}.$$

В треугольнике $ABD$, вписанном в окружность с радиусом $4$, по теореме синусов имеем: $$\frac{x}{\sin{(90^\circ-\alpha)}}=2\cdot 4=8.$$ Заметим, что по соотношению для дополнительных углов $$\sin{(90^\circ-\alpha)}=\cos{\alpha},$$ поэтому получаем: $$\cos{\alpha}=\frac{x}{8}.$$

Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1.$$ Подставляем найденные значения: $$\left(\frac{x}{6}\right)^2+\left(\frac{x}{8}\right)^2=1.$$

Решим полученное уравнение: $$\frac{x^2}{36}+\frac{x^2}{64}=1.$$ Приведём дроби к общему знаменателю: $$\frac{16x^2}{576}+\frac{9x^2}{576}=\frac{25x^2}{576}=1.$$ Умножая обе части на $576$, получаем: $$25x^2=576.$$ Отсюда $$x^2=\frac{576}{25},$$ а значит $$x=\frac{24}{5}=4,8.$$ Отрицательный корень отбрасываем, так как сторона не может быть отрицательной.

Таким образом, сторона ромба равна $4,8$.