Задание 25 — №340879

Пусть $\alpha = \angle BAC$, $\beta = \angle ABC$, $\gamma = \angle ACB$, а также заданы углы треугольника $MKP$: $\angle PKM = 49^\circ$, $\angle MPK = 69^\circ$, $\angle KMP = 62^\circ$. По свойству касательных (касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны), получаем: $AM = AP$, $BM = BK$, $CP = CK$. Следовательно, треугольники $AMP$, $BMK$ и $CPK$ равнобедренные.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. По теореме об угле между касательной и хордой (угол между касательной и хордой равен $90^\circ - \frac{\text{угол у вершины}}{2}$) получаем: $$\angle AMP = \angle APM = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$$, $$\angle BMK = \angle BKM = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$$, $$\angle CPK = \angle CKP = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$$.

Рассмотрим треугольник $MKP$, сумма углов которого равна $180^\circ$. Выразим угол $\angle PKM$ с помощью углов равнобедренных треугольников:

$$\angle PKM = 180^\circ - \angle CKP - \angle BKM.$$

Подставляем найденные значения:

$$\angle PKM = 180^\circ - \Bigl(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\Bigr) - \Bigl(90^\circ - \frac{\beta}{2}\Bigr) = \frac{\beta+\gamma}{2}.$$

Приравнивая к заданному значению $49^\circ$, получаем уравнение:

$$\frac{\beta+\gamma}{2} = 49^\circ.$$

Аналогичным образом находим остальные углы треугольника $MKP$:

$$\angle MPK = \frac{\alpha+\gamma}{2} = 69^\circ, \quad \angle KMP = \frac{\alpha+\beta}{2} = 62^\circ.$$

Так как сумма углов треугольника $ABC$ равна $\alpha+\beta+\gamma = 180^\circ$, запишем:

$$\beta+\gamma = 2\cdot49^\circ = 98^\circ, \quad \alpha+\gamma = 2\cdot69^\circ = 138^\circ, \quad \alpha+\beta = 2\cdot62^\circ = 124^\circ.$$

Вычисляем:

$$\alpha = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ,$$
$$\beta = 124^\circ - 82^\circ = 42^\circ,$$
$$\gamma = 138^\circ - 82^\circ = 56^\circ.$$

Таким образом, углы треугольника $ABC$ равны $82^\circ$, $42^\circ$ и $56^\circ$.