Задание 25 — №341345

Пусть площадь треугольника $S_{AMK}=3S$. Так как треугольники $ABK$ и $AMK$ имеют общую высоту, их площади пропорциональны основаниям. По правилу пропорциональности (если высоты равны, то отношение площадей равно отношению оснований) имеем: $\frac{S_{ABK}}{S_{AMK}}=\frac{BK}{KM}=\frac{7}{3}$. Подставляя $S_{AMK}=3S$, получаем: $S_{ABK}=\frac{7}{3}\cdot 3S=7S$.

Обозначим площади: положим $S_{PBK}=X$ и $S_{PCK}=Y$.

Заметим, что прямая $AK$ пересекает треугольники так, что отношение площадей $\frac{S_{ABK}}{X}$ равно отношению отрезков $AK:KP$.

Аналогично, если рассмотреть треугольник $AKC$, который делится медианой на две равновеликие части с площадями по $3S$ (итого $6S$), то $\frac{S_{AKC}}{Y}=\frac{AK}{KP}$. Приравнивая эти отношения, получаем: $\frac{7S}{X}=\frac{6S}{Y}$, откуда $X=\frac{7Y}{6}$.

Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, площадь треугольника $ABM$ равна площади треугольника $CBM$. Найдём площадь $ABM$: она состоит из треугольников $ABK$ и $AMK$, то есть $S_{ABM}=7S+3S=10S$. При разбиении треугольника $CBM$ прямая $AK$ выделяет области с площадями $X$, $Y$ и ещё одну часть площадью $3S$. Таким образом, $X+Y+3S=10S$, откуда $X+Y=7S$.

Подставляя найденное соотношение $X=\frac{7Y}{6}$ в уравнение $X+Y=7S$, получаем: $\frac{7Y}{6}+Y=\frac{13Y}{6}=7S$. Отсюда: $Y=\frac{7S\cdot6}{13}=\frac{42S}{13}$, а $X=\frac{7}{6}\cdot\frac{42S}{13}=\frac{49S}{13}$.

Искомое отношение площадей треугольника $BKP$ и четырехугольника $KPCM$ равно $\frac{S_{BKP}}{S_{KPCM}}=\frac{X}{3S+Y}$. Подставляем найденные значения: $$\frac{\frac{49S}{13}}{3S+\frac{42S}{13}}=\frac{\frac{49S}{13}}{\frac{39S+42S}{13}}=\frac{49S}{81S}=\frac{49}{81}$$. Таким образом, ответ: $49:81$.