Задание 25 — №341371
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
В выпуклом четырехугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырехугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 14, SQ = 4.
В выпуклом четырехугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырехугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 14, SQ = 4.
Решение
- 1
Заметим, что по условию, $\angle QPS = \angle QPM$ и $\angle MNQ = \angle QNP$. По признаку равенства двух углов (теорема о подобии треугольников по двум углам) треугольники $PQS$ и $NQP$ подобны.
- 2
Из подобия треугольников, по теореме о пропорциональности соответствующих сторон, получаем: $$\frac{QS}{PQ} = \frac{PQ}{QN}.$$ Подставляем известные значения: $QS = 4$ и $PQ = 14$, тогда подстановка выглядит так: $$\frac{4}{14} = \frac{14}{QN}.$$ Умножая крест-накрест, получаем уравнение: $4\cdot QN = 14\cdot 14$, откуда $QN = \frac{14\cdot14}{4} = 49$.
- 3
Так как точка $S$ делит отрезок $QN$ на части, где $QN = NS + SQ$, обозначим $NS = x$. Тогда у нас получается уравнение: $x + 4 = 49$. Решая его, находим: $x = 49 - 4 = 45$.
Ответ: 45