Задание 25 — №341397

Так как из вершины $C$ прямого угла треугольника $ABC$ проведена высота $CP$, угол $\angle CAB$ равен $90^\circ - \angle CBA$. При этом высота делит угол, и мы получаем равенство: $\angle CAB = \angle PCB$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $CBP$ подобны.

Из подобия треугольников $ABC$ и $CBP$ равны отношения соответствующих сторон. Пусть радиус вписанной окружности в треугольник $ABC$ равен $r$, а в треугольник $BCP$ он равен $96$. Тогда получаем соотношение: $$\frac{96}{r} = \frac{BC}{BA}.$$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом в $C$ сторона $BC$ противолежащая углу $\angle BAC$, а $BA$ является гипотенузой. По определению синуса для угла $\angle BAC$ имеем: $$\sin \angle BAC = \frac{BC}{BA}.$$

Подставляем выражение для $\frac{BC}{BA}$ в полученное соотношение, тогда: $$\frac{96}{r} = \sin \angle BAC.$$

По условию задачи $\tan \angle BAC = \frac{8}{15}$. Из прямоугольного треугольника с таким отношением сторон (где числа $8$, $15$ и $17$ образуют Пифагорову тройку) следует, что $$\sin \angle BAC = \frac{8}{17}.$$ Подставляем это значение, получаем уравнение: $$\frac{96}{r} = \frac{8}{17}.$$ Умножая обе части на $r$ и $17$, получаем: $$96 \cdot 17 = 8r,$$ откуда $$r = \frac{96 \cdot 17}{8} = 204.$$