Задание 25 — №348521

Обозначим $BH$ как высоту, проведённую из вершины $B$. Рассмотрим треугольник $ABH$. По теореме о биссектрисе, биссектриса угла $A$ делит сторону $BH$ в отношении, равном отношению длин сторон $AB$ и $AH$. Из условия, поскольку биссектриса делит $BH$ в отношении $17:15$, получаем: $\frac{AB}{AH} = \frac{17}{15}$, откуда $\cos \angle BAC = \frac{AH}{AB} = \frac{15}{17}$.

Найдём $\sin \angle BAC$ с помощью тригонометрического тождества: $$\sin^2 \angle BAC + \cos^2 \angle BAC = 1.$$ Подставляя $\cos \angle BAC = \frac{15}{17}$, получаем: $$\sin^2 \angle BAC = 1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{64}{289},$$ откуда $\sin \angle BAC = \frac{8}{17}$.

Применяем теорему синусов для описанной окружности, которая гласит: $$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R.$$ Подставляем известные значения $BC = 16$ и $\sin \angle BAC = \frac{8}{17}$: $$R = \frac{16}{2 \cdot \frac{8}{17}} = \frac{16}{\frac{16}{17}} = 17.$$