Задание 25 — №340855

Пусть $T$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$, $P$ — проекция точки $E$ на прямую $CD$, $Q$ — проекция точки $C$ на прямую $AD$. Обозначим также $\alpha=\angle\,CDA$ и $x=CD$. Даны значения: $AD=14$ и $BC=12$.

Найдем длину отрезка $QD$. Так как проекция точки $C$ на $AD$ даёт $AQ=BC=12$, то $QD=AD-AQ=14-12=2$. В прямоугольном треугольнике с углом $\alpha$ по определению косинуса получаем: $$\cos\alpha=\frac{QD}{CD}=\frac{2}{x}.$$

Из подобия треугольников $TBC$ и $TAD$ (теорема о подобных треугольниках) находим, что отношение сторон даёт $TC=6x$. Тогда, чтобы произведение сторон имело вид, удобный для применения теоремы о секущей и касательной, определим $TD$ так, что $$TD\cdot TC=7x\cdot 6x=42x^2.$$

Применяем теорему о секущей и касательной (теорема о мощности точки): из внешней точки $T$ для касательной $TE$ имеем $$TE^2=TD\cdot TC=42x^2,$$ откуда $TE=x\sqrt{42}$.

Так как расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ равно длине проекции отрезка $TE$ на $CD$, и угол между ними равен $\alpha$, получаем: $$EP=TE\cdot\cos\alpha=x\sqrt{42}\cdot\frac{2}{x}=2\sqrt{42}.$$