Задание 25 — №340376

Продлим стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $E$. По построению получаем, что сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, откуда следует, что угол $\angle AEC = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $AED$ и $BEC$. По теореме о подобных треугольниках (так как при параллельных прямых соответствующие углы, например, $\angle EDA$ и $\angle ECB$, равны) получаем равенство отношений: $$\frac{AE}{BE} = \frac{AD}{BC}.$$ Так как $AE = AB + BE$, то пропорция принимает вид: $$\frac{AB+BE}{BE} = \frac{AD}{BC}.$$ Подставляем известные значения: $AB=20$, $AD=49$, $BC=21$, и получаем уравнение: $$\frac{20+BE}{BE} = \frac{49}{21}.$$

Решим полученное уравнение. Перемножим: $21(20+BE)=49\cdot BE$, то есть $$420+21BE=49BE.$$ Вычитая $21BE$ из обеих частей, получаем: $$420=28BE,$$ откуда $$BE=\frac{420}{28}=15.$$

Пусть через точки $A$ и $B$ проходит окружность, которая касается прямой $CD$ в точке $F$. Обозначим центр окружности за $O$. Из свойства касательной к окружности известно, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть $OF \perp CD$.

При этом отрезки $OA$, $OB$ и $OF$ равны и являются радиусами данной окружности.

Заметим, что треугольник $AOB$ равнобедренный, а высота, опущенная на основание $AB$, является и медианой, и биссектрисой. Обозначим точку пересечения высоты с $AB$ как $H$, тогда $$HB=\frac{AB}{2}=10.$$

Так как четырехугольник $OHEF$ является прямоугольником (все его углы по $90^\circ$), получаем, что $OF=HE$. При этом отрезок $HE$ равен сумме $HB$ и $BE$, то есть $$HE=HB+BE=10+15=25.$$ Значит, радиус окружности равен $$R=OF=25.$$