Задание 25 — №340237

По теореме о касательной к окружности, угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую эта хорда заключает. Так, поскольку прямая $BC$ является касательной к окружности, проходящей через точки $A$, $C$ и $D$, имеем $$\angle BCD=\frac{1}{2}\widehat{CD}.$$ Аналогично, вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $$\angle CAD=\frac{1}{2}\widehat{CD}.$$ Отсюда получаем, что $$\angle BCD=\angle CAD.$$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDB$. В этих треугольниках угол при вершине $B$ является общим, а также из шага 1 получено равенство $$\angle BCD=\angle CAD.$$ По признаку равенства углов (теорема о подобии треугольников) треугольники подобны, откуда справедливо равенство пропорций: $$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{BD}=\frac{AB}{BC}.$$ При этом даны значения: $AC=12$, $CD=8$ и $BC=18$.

Подставим известные величины в первую пропорцию. Вычисляем: $$\frac{AC}{CD}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.$$ Используя равенство $$\frac{BC}{BD}=\frac{3}{2},$$ подставляем $BC=18$ и получаем уравнение: $$\frac{18}{BD}=\frac{3}{2}.$$ Отсюда, умножив обе части на $BD$ и затем на $2$, получаем: $$BD=\frac{2\cdot18}{3}=12.$$

Аналогично находим $AB$, используя равенство $$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{2}.$$ При подстановке $BC=18$ получаем: $$\frac{AB}{18}=\frac{3}{2},$$ откуда $$AB=\frac{3\cdot18}{2}=27.$$

Так как точка $D$ находится на стороне $AB$, длина отрезка $AD$ равна разности: $$AD=AB-BD=27-12=15.$$ Таким образом, искомое значение $AD=15$.