Задание 25 — №340133

Шаг 1. Построим описанную окружность треугольника $ABC$ с центром в точке $O$. По теореме о вписанном угле, угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Значит, угол $ABE$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$, а также угол $ECA$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.

Шаг 2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AEB$ и $ABF$. Так как угол $BAE$ общий для обоих треугольников, они подобны. По признаку подобия треугольников ( $$\text{теорема о пропорциональности сторон в подобных треугольниках}$$ ) имеем:

$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AF}$,

откуда следует равенство $AB^2 = AE \cdot AF$.

Шаг 3. Рассмотрим треугольники $AEC$ и $AFD$, которые также являются прямоугольными, поскольку угол $ECA=90^\circ$. Угол $FAD$ общий, поэтому эти треугольники подобны. Из подобия получаем соотношение:

$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AF}$,

что эквивалентно $AD = \frac{AE \cdot AF}{AC}$.

Шаг 4. Подставляем найденное равенство $AE \cdot AF = AB^2$ в выражение для $AD$, получаем:

$AD = \frac{AB^2}{AC} = \frac{84^2}{98}$.

Вычисляем: $84^2 = 7056$, а $\frac{7056}{98} = 72$. Тогда откуда $CD = AC - AD = 98 - 72 = 26$.