Задание 25 — №340107

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин, она является центром описанной окружности, а значит, четырехугольник можно вписать в окружность. По свойству вписанного четырехугольника (теорема о вписанных углах) сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$, то есть $\angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ}$. Из условия, поскольку $\angle C = 113^{\circ}$, получаем $$\angle BAD = 180^{\circ} - 113^{\circ} = 67^{\circ}$$.

Так как $M$ является серединой стороны $AD$ и равноудален от всех вершин, отрезки $AM$, $BM$ и $CM$ равны, то есть равны радиусу описанной окружности. Следовательно, треугольники $ABM$ и $BMC$ являются равнобедренными.

В равнобедренном треугольнике $ABM$, где $AM = BM$, углы при основании равны, то есть $\angle ABM = \angle BAM$. Поскольку весь угол $\angle BAD = 67^{\circ}$, получаем, что $\angle ABM = 67^{\circ}$.

В равнобедренном треугольнике $BMC$, где $BM = CM$, углы при основании равны: $\angle MCB = \angle MBC$. Вычисляем $\angle MBC$ как разность угла $\angle ABC$ и угла $\angle ABM$: $112^{\circ} - 67^{\circ} = 45^{\circ}$. Тогда $\angle MCB = 45^{\circ}$, и по сумме углов треугольника $$\angle BMC = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}$$.

Применяем \textbf{теорему синусов} в треугольнике $BMC$: $$\frac{BC}{\sin \angle BMC} = \frac{BM}{\sin \angle MCB}.$$ Подставляем значения: $BC = 10$, $\sin \angle BMC = \sin 90^{\circ} = 1$, $$\sin \angle MCB = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Тогда находим $BM$: $$BM = 10 \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1} = 5\sqrt{2}.$$ Поскольку $AD$ является диаметром описанной окружности, получаем $AD = 2BM = 10\sqrt{2}$.