Задание 25 — №339886
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Высоты остроугольного треугольника ABC, проведенные из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках $B_1$ и $C_1$. Оказалось, что отрезок $B_1$ $C_1$ проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.
Высоты остроугольного треугольника ABC, проведенные из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B_1 и C_1. Оказалось, что отрезок B_1 C_1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.
Решение
- 1
Так как из условия известно, что отрезок $B_1C_1$ проходит через центр описанной окружности, то $B_1C_1$ является диаметром описанной окружности.
- 2
По теореме об углах, вписанных в окружность (теорема о равных вписанных углах), если несколько углов опираются на одну и ту же дугу, то они равны. Отсюда получаем, что $\angle BB_1C = \angle CAB = \angle CC_1B$.
- 3
Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1OC$, где $O$ --- центр описанной окружности. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^{\circ}$. Обозначим $\angle CAB$ за $x$, тогда $\angle BB_1C = x$ и, следовательно, $\angle B_1OC = 90^{\circ} - x$.
- 4
Аналогичным образом рассмотрим прямоугольный треугольник $LCO$ (где $L$ --- основание высоты, проведённой из вершины $C$). Здесь также сумма двух острых углов равна $90^{\circ}$, то есть $\angle LCO = 90^{\circ} - \angle B_1OC$. Подставляя $\angle B_1OC = 90^{\circ} - x$, получаем: $\angle LCO = 90^{\circ} - (90^{\circ} - x) = x$. Это означает, что $\angle LCO = \angle CAB$.
- 5
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник $CAM$ (где $M$ --- основание высоты, проведённой из вершины $C$). В этом треугольнике углы $\angle BAC$ и $\angle ACC_1$ равны, а сумма их острых углов равна $90^{\circ}$. Следовательно, $$\angle BAC = \angle ACC_1 = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$$.
Ответ: 45°