Задание 25 — №339825

Рассмотрим треугольник $ABC$ с вписанной окружностью, центр которой обозначим как $O$. Так как $O$ является точкой пересечения биссектрис, отрезки $AO$, $BO$ и $CO$ являются биссектрисами. По условию, расстояние от $O$ до точки $A$ равно $5$, то есть $AO=5$, а расстояние от $O$ до прямой $AC$ равно $3$, то есть $OK=3$.

В прямоугольном треугольнике $AOK$ (где $OK\perp AC$) применим теорему Пифагора: $$AK=\sqrt{AO^2-OK^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.$$ Таким образом, получаем $AK=4$.

Так как $O$ является центром вписанной окружности треугольника $ABC$, то расстояния от $O$ до всех сторон равны радиусу, то есть $OM=OL=OK=3$. Рассмотрим треугольники $ALO$ и $AOK$. Они оба прямоугольные (так как $OL\perp AB$ и $OK\perp AC$), имеют общий отрезок $AO=5$ и равные катеты $OL=OK=3$. По признаку равенства прямоугольных треугольников (гипотенуза и один катет) получаем $AL=AK=4$.

Из свойства касательных к окружности, проведённых из одной точки, получаем: из точки $B$ касательные к окружности равны, то есть $BL=BM$, а из точки $C$ равны отрезки $CK=CM$. Тогда стороны треугольника $ABC$ можно записать так: $$AB=AL+BL=4+BM,\quad BC=BM+CM,\quad AC=AK+CK=4+CM.$$

Найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле с вписанной окружностью: $$S_{ABC}=r\cdot s,$$ где $r=3$ --- радиус, а $s=\frac{AB+BC+AC}{2}$ --- полупериметр. Подставляем выражения: $$s=\frac{(4+BM)+(BM+CM)+(4+CM)}{2}=\frac{8+2BM+2CM}{2}=4+BM+CM.$$ Тогда $$S_{ABC}=3(4+BM+CM).$$

Параллелограмм $ABCD$ делится диагональю $AC$ на два равновеликих треугольника, откуда его площадь равна $$S_{ABCD}=2S_{ABC}=6(4+BM+CM).$$ С другой стороны, площадь параллелограмма можно найти как произведение основания на высоту. Здесь основание $BC=BM+CM$, а высота равна сумме расстояний от $O$ до прямых $AC$ и $AD$: $$MO+OH=3+4=7.$$ Тогда $$S_{ABCD}=7(BM+CM).$$ Приравниваем оба выражения: $$6(4+BM+CM)=7(BM+CM).$$ Обозначим $BM+CM=x$, тогда $$24+6x=7x \Rightarrow x=24.$$ Подставляя, получаем $$S_{ABCD}=7\cdot 24=168.$$