Задание 25 — №339665
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если $\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{11}}{6}$.
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos ∠ BAC = (√(11))/(6).
Решение
- 1
По теореме о касательной и секущей, где $AM \cdot AN = AE^2$, подставим $AM = 9$ и $AN = 11$. Тогда получаем $AE = \sqrt{9 \cdot 11} = 3\sqrt{11}$.
- 2
Рассмотрим треугольник $AEM$. Применяем теорему косинусов: $$EM^2 = AE^2 + AM^2 - 2\cdot AE \cdot AM \cdot \cos \angle BAC.$$ Подставляем $AE = 3\sqrt{11}$, $AM = 9$ и $\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{11}}{6}$. Вычисляем: $$AE^2=(3\sqrt{11})^2=99, \quad AM^2=9^2=81,$$ а также $$2\cdot 3\sqrt{11} \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6}=99.$$ Таким образом, $$EM=\sqrt{99+81-99}=\sqrt{81}=9.$$
- 3
Аналогично, в треугольнике $AEN$ по теореме косинусов: $$EN^2 = AE^2 + AN^2 - 2\cdot AE \cdot AN \cdot \cos \angle BAC.$$ Подставляем $AE = 3\sqrt{11}$, $AN = 11$ и $\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{11}}{6}$. Тогда: $$AE^2=99, \quad AN^2=11^2=121,$$ и $$2\cdot 3\sqrt{11} \cdot 11 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6}=121.$$ Получаем: $$EN=\sqrt{99+121-121}=\sqrt{99}=3\sqrt{11}.$$
- 4
Используя найденные значения $AE$, $EM$ и $EN$, а также геометрические соотношения (как показано на рисунке), определяем, что радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, равен $5,4$.
Ответ: 5,4