Задание 25 — №339451
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны $38^{\circ}$, $78^{\circ}$ и $64^{\circ}$.
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38^(°), 78^(°) и 64^(°).
Решение
- 1
Из свойства касательных к окружности, проведённых из одной точки, следует, что $MB=BK$, $AM=AP$ и $CP=CK$. Это означает, что треугольники $MBK$, $AMP$ и $KPC$ являются равнобедренными, а их углы при основании равны.
- 2
В треугольнике $MKP$ по условию углы равны $38^\circ$, $78^\circ$ и $64^\circ$. Пусть $\angle MPK=78^\circ$. По теореме об угле, вписанном в окружность (угол, опирающийся на дугу, равен половине меры этой дуги), $\angle MPK$ действительно равен $78^\circ$.
- 3
Применяя теорему о касательной и хордe, согласно которой угол между касательной и хордой равен половине меры дуги, отсекаемой этой хордой, получаем, что угол $\angle BMK=78^\circ$.
- 4
Так как треугольник $MBK$ равнобедренный, угол при основании $\angle BKM$ также равен $78^\circ$. Вспомним, что сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$: $$\angle BMK+\angle BKM+\angle ABC=180^\circ.$$ Подставляя найденные значения, получаем: $$78^\circ+78^\circ+\angle ABC=180^\circ,$$ откуда $\angle ABC=180^\circ-78^\circ-78^\circ=24^\circ$.
- 5
Аналогичным способом, с учётом равнобедренности треугольников $AMP$ и $KPC$, находим, что $\angle BAC=104^\circ$ и $\angle ACB=52^\circ$.
Ответ: 24°; 104°; 52°