Задание 25 — №339413

Так как угол, образованный касательной к описанной окружности и хордой, равен половине меры заключённой между ними дуги (теорема о касательной и хорде), то угол $\angle ACD$ равен половине дуги $AC$. Вписанный же угол $\angle ABC$, опирающийся на ту же дугу $AC$, также равен половине её меры. Отсюда получаем: $\angle ACD=\angle ABC$.

В треугольниках $ACD$ и $CBD$ общий угол $\angle BDC$, а из первого шага установлено, что $\angle ACD=\angle CBD$ (так как $\angle CBD=\angle ABC$). По признаку подобия треугольников (два равных угла) имеем пропорцию: $\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$.

Так как $CM$ – биссектриса треугольника $ABC$, то по теореме о биссектрисе получаем: $$\frac{AC}{BC}=\frac{AM}{BM}=\frac{17}{19}.$$ Из подобия треугольников следует, что $$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{BD}=\frac{17}{19}.$$ Рассмотрев пропорцию $\frac{AD}{CD}=\frac{17}{19}$, находим: $$AD=\frac{17}{19}CD.$$

Отрезок $BD$ равен сумме $AD$ и стороны $AB$. Поскольку $AB=AM+MB=17+19=36$, то: $$BD=AD+36=\frac{17}{19}CD+36.$$ С другой стороны, из пропорции подобия имеем: $$\frac{CD}{BD}=\frac{17}{19},$$ откуда $$BD=\frac{19}{17}CD.$$

Приравнивая два выражения для $BD$, получаем уравнение: $$\frac{19}{17}CD=\frac{17}{19}CD+36.$$ Умножим обе части на $17\cdot19$: $$361\,CD=289\,CD+36\cdot323.$$ Вычтем $289\,CD$ и получим: $$72\,CD=36\cdot323.$$ Разделим обе части на $72$: $$CD=\frac{36\cdot323}{72}=\frac{323}{2}=161,5.$$