Задание 25 — №339402

Построим треугольник $ABC$ с высотой $AD$, где точка $D$ --- основание высоты на стороне $BC$, и построим полуокружность на диаметре $BC$. По условию, $AD=27$. Точка $M$ --- точка пересечения полуокружности с высотой $AD$, и при этом $MD=18$, откуда находим $AM=27-18=9$.

Продлим прямую $AD$ за точку $D$ до пересечения с полуокружностью в точке $Q$. По построению отрезки, отсекаемые на прямой $AD$, равны, то есть $QD=18$. Тогда $AQ=AD+DQ=27+18=45$.

Применим теорему о секущих (теорема о произведении отрезков). Если через точку $A$ провести секущую, пересекающую окружность в точках $M$ и $Q$, то по этой теореме имеем: $$AM \cdot AQ=(27-18)(27+18)=9 \cdot 45=405.$$ Это равенство можно записать как $AK \cdot AC=405$, где $AK$ --- отрезок, участвующий в построении (связан с точкой пересечения высот $H$).

Рассмотрим прямоугольные треугольники $AKH$ и $ADC$. По теореме о вписанном угле, угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$, а угол $DAC$ является общим для этих треугольников. Тогда, по признаку подобия (два угла равны), получаем соотношение: $$\frac{AK}{AD}=\frac{AH}{AC}.$$ Отсюда выражаем $AH$: $$AH=\frac{AK \cdot AC}{AD}.$$ Подставляя $AK \cdot AC=405$ и $AD=27$, находим: $$AH=\frac{405}{27}=15.$$