Линейные уравнения

Длину окружности l можно вычислить по формуле $l = 2 \pi R$, где R — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус окружности, если ее длина равна 78 м. (Считать $\pi = 3$).

Площадь ромба $S$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1, d_2$ — диагонали ромба (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите диагональ $d_1$, если диагональ $d_2$ равна 30 м, а площадь ромба 120 м^2.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — сторона треугольника, $h$ — высота, проведенная к этой стороне (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите сторону $a$, если площадь треугольника равна $28 \, м^2$, а высота $h$ равна $14 \, м$.

Площадь трапеции $S$ можно вычислить по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $a, b$ — основания трапеции, $h$ — высота (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите высоту $h$, если основания трапеции равны $5 \text{ м}$ и $7 \text{ м}$, а ее площадь $24 \text{ м}^2$.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле $r=\frac{a + b - c}{2}$, где a и b — катеты, а c — гипотенуза треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите b, если $r=1.2$, $c=6.8$ и $a=6.$

Объем пирамиды вычисляют по формуле $V = \frac{1}{3} S h$, где S — площадь основания пирамиды, h — ее высота. Объем пирамиды равен 40, площадь основания 15. Чему равна высота пирамиды?

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислять по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$, где $d_1, d_2$ — длины его диагоналей, а $\alpha$ угол между ними. Вычислите $\sin \alpha$, если $S = 21, d_1 = 7, d_2 = 15.$

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия ($t \degree C$) в шкалу Фаренгейта ($t \degree F$), пользуются формулой $F = 1.8 \cdot C + 32$, где $C$ — градусы Цельсия, $F$ — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 6° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/c^2) можно вычислить по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость (в с$^{-1}$), а R — радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите расстояние R (в метрах), если угловая скорость равна 3 с$^{-1}$, а центростремительное ускорение равно 45 м/c^2.

Из закона всемирного тяготения $F=G \frac{mM}{r^2}$ выразите массу m и найдите ее величину (в килограммах), если $F = 13,4 \text{ Н}$, $r = 5 \text{ м}$, $M = 5 \cdot 10^9 \text{ кг}$ и гравитационная постоянная $G=6,7 \cdot 10^{-11} \frac{\text{м}^3}{\text{кг} \cdot \text{с}^2}$.

Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле $E = \frac{m \cdot v^2}{2} + mgh$, где m — масса тела (в килограммах), υ — его скорость (в м/с), h — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а g — ускорение свободного падения (в м/с^2). Пользуясь этой формулой, найдите h (в метрах), если $E = 250$ Дж, $v = 5$ м/с, $m = 4$ кг, а $g = 10$ м/с^2.

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2 R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление $R$ (в омах), если мощность составляет 150 ватт, а сила тока равна 5 амперам.

Закон Кулона можно записать в виде $F=k \frac{q_1 q_2}{r^2}$, где F — сила взаимодействия зарядов (в ньютонах), $q_1$ и $q_2$ — величины зарядов (в кулонах), k — коэффициент пропорциональности (в Н·м^2 /Кл^2), а r — расстояние между зарядами (в метрах). Пользуясь формулой, найдите величину заряда $q_1$ (в кулонах), если $k=9 \cdot 10^9$ Н·м^2 /Кл^2, $q_2 =0,004$ Кл, $r=3000$ м, а $F=0,016$ Н.

Закон всемирного тяготения можно записать в виде $F = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2}$, где F — сила притяжения между телами (в ньютонах), $m_1$ и $m_2$ — массы тел (в килограммах), r — расстояние между центрами масс (в метрах), а $\gamma$ — гравитационная постоянная, равная 6,67 · $10^{-11}$ H·м^2 /кг^2. Пользуясь формулой, найдите массу тела $m_1$ (в килограммах), если $F = 33,35$ Н, $m_2 = 5 \cdot 10^8$ кг, а $r = 2$ м.

Закон Джоуля–Ленца можно записать в виде $Q = I^2 R t$, где $Q$ — количество теплоты (в джоулях), $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление цепи (в омах), а $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите время $t$ (в секундах), если $Q = 2187$ Дж, $I = 9$ A, $R = 3$ Ом.

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{d_1 d_2 \sin \alpha}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырехугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали $d_1$, если $d_2 = 7$, $\sin \alpha = \frac{2}{7}$, а $S = 4.$

Закон Менделеева-Клапейрона можно записать в виде $PV = \nu RT$, где $P$ — давление (в паскалях), $V$ — объем (в м^3), $\nu$ — количество вещества (в молях), $T$ — температура (в кельвинах), а $R$ — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К⋅моль). Пользуясь этой формулой, найдите температуру $T$ (в кельвинах), если $\nu = 68,2$ моль, $P = 37\,782,8$ Па, $V = 6$ м^3.

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле $P = mgh$, где $g = 9,8 \frac{м}{с^2}$ — ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 20 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 1568 джоулям. Ответ дайте в килограммах.