Треугольники и их элементы
Задание 24 — Геометрические задачи на доказательство (16 заданий)
Справочник формул
Все формулы и теоремы для экзамена — алгебра, геометрия, функции, статистика
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рис.). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рис.). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что 
Докажите, что если 
то 
.
На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD = CE. Докажите, что если BD = BE, то AB = BC.
На медиане KF треугольника MKP отмечена точка E. Докажите, что если $EM = EP$, то $KM = KP.$
На медиане KF треугольника MKP отмечена точка E. Докажите, что если EM = EP, то KM = KP.
Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки AB и CD равны.
Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки AB и CD равны.
Два равных прямоугольника имеют общую вершину O (см. рис.). Докажите, что площади треугольников AOK и COM равны.
Два равных прямоугольника имеют общую вершину O (см. рис.). Докажите, что площади треугольников AOK и COM равны.
Докажите, что у равных треугольников ABC и $A_1B_1C_1$ биссектрисы, проведенные из вершины $A$ и $A_1$, равны.
Докажите, что у равных треугольников ABC и A_1B_1C_1 биссектрисы, проведенные из вершины A и A_1, равны.
В треугольнике ABC угол $B$ равен 36°, $AB = BC$, $AD$ — биссектриса. Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.
В треугольнике ABC угол B равен 36°, AB = BC, AD — биссектриса. Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A , C , центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A , C , центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого $\angle$ C = 90^$\circ$, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.
Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠ C = 90^°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.
Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
Высоты A $A_1$ и B $B_1$ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы A $A_1$ $B_1$ и A B $B_1$ равны.
Высоты A A_1 и B B_1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы A A_1 B_1 и A B B_1 равны.
В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.
В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причем точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD $\perp$ EF.
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причем точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD ⊥ EF.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $BB_1C_1$ и $BCC_1$ равны.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB_1 и CC_1. Докажите, что углы BB_1C_1 и BCC_1 равны.