Задание 24 — №311561

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором на стороне $AC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $AD = CE$, и даны отрезки $BD$ и $BE$ с условием $BD = BE$.

Рассмотрим треугольник $BDE$. Так как $BD = BE$, по свойству равнобедренного треугольника получаем, что углы при основании равны: $\angle BDE = \angle BED$ (теорема о равенстве базовых углов в равнобедренном треугольнике).

Поскольку точки $D$ и $E$ лежат на прямой $AC$, углы $\angle BDA$ и $\angle BEC$ являются дополнительными к углам $\angle BDE$ и $\angle BED$ соответственно: $\angle BDA = 180^\circ - \angle BDE$ и $\angle BEC = 180^\circ - \angle BED$. При равенстве $\angle BDE = \angle BED$ получаем, что $\angle BDA = \angle BEC$.

В треугольниках $BDA$ и $BEC$ имеем: $BD = BE$ (по условию), $\angle BDA = \angle BEC$ (из предыдущего шага) и $AD = CE$ (по условию). Применяя признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (признак SAS), заключаем, что треугольники $BDA$ и $BEC$ равны.

Из равенства треугольников $BDA$ и $BEC$ следует, что соответствующие стороны равны, в частности, $AB = BC$. Это и требовалось доказать.