Задание 24 — №311602

Шаг 1. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с условием $AB = CB$. Проведем биссектрису угла $C$, которая пересекает сторону $AB$ в точке $K$, и биссектрису угла $A$, пересекающую сторону $CB$ в точке $M$. Из свойства равнобедренного треугольника следует, что углы при основании равны, то есть $\angle KAC = \angle MCA$.

Шаг 2. По определению биссектрисы угол делится на две равные части, поэтому в треугольнике $ACK$ получаем $\angle ACK = \angle KCB$, а в треугольнике $CAM$ --- $\angle MAC = \angle BAM$. С учетом равенства углов при основании получаем равенство углов, участвующих в построении наших треугольников: $\angle ACK = \angle MAC$. При этом сторона $AC$ является общей для треугольников $ACK$ и $CAM$.

Шаг 3. Применим признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (ASA): имеем общую сторону $AC$, равенство углов $\angle KAC = \angle MCA$ и равенство углов $\angle ACK = \angle MAC$.

Отсюда следует, что треугольники $ACK$ и $CAM$ равны, а их соответствующие стороны равны. В частности, получаем $CK = MA$, что и доказывает равенство биссектрис углов при основании равнобедренного треугольника.