Задание 24 — №311567
Геометрические задачи на доказательство
Условие
На медиане KF треугольника MKP отмечена точка E. Докажите, что если $EM = EP$, то $KM = KP.$
На медиане KF треугольника MKP отмечена точка E. Докажите, что если EM = EP, то KM = KP.
Решение
- 1
Шаг 1: По условию, $EM = EP$, поэтому треугольник $MEP$ является равнобедренным.
- 2
Шаг 2: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины с равными сторонами, является также высотой (свойство равнобедренного треугольника). Применяем это к треугольнику $MEP$: медиана $EF$ к основанию $MP$ удовлетворяет условию $EF \perp MP$.
- 3
Шаг 3: По определению медианы в треугольнике $MKP$, точка $F$ является серединой отрезка $MP$. Так как точка $E$ расположена на медиане $KF$ и принадлежит отрезку $EF$, получаем, что $KF$ проходит через точку, где проведена высота, то есть $KF \perp MP$.
- 4
Шаг 4: Отрезок $KF$ в треугольнике $MKP$ является одновременно медианой (так как делит сторону $MP$ пополам) и высотой (так как перпендикулярен $MP$).
- 5
Шаг 5: По свойству равнобедренного треугольника, если медиана из вершины является высотой, то основание треугольника равно. Следовательно, $KM = KP$.
Ответ: KM = KP