Задание 24 — №129
Геометрические задачи на доказательство
Условие
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
Решение
- 1
Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$, в котором $AB=BC=AC$. Обозначим точки $M$, $N$, $K$ как середины сторон $AB$, $BC$, $CA$ соответственно.
- 2
По определению середины, каждая точка делит сторону на две равные части, то есть: $AM=MB=\frac{AB}{2}$, $BN=NC=\frac{BC}{2}$ и $CK=KA=\frac{AC}{2}$.
- 3
Применяем теорему о средней линии треугольника, которая утверждает, что отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине. Тогда: $MN=\frac{AC}{2}$, $NK=\frac{AB}{2}$ и $MK=\frac{BC}{2}$.
- 4
Так как по условию $AB=BC=AC$, то после подстановки получаем: $MN=MK=NK=\frac{AC}{2}$, то есть все стороны треугольника $MNK$ равны между собой.
- 5
Поскольку треугольник с равными сторонами называется равносторонним, то $MNK$ — равносторонний.
Ответ: треугольник MNK — равносторонний