Задание 24 — №103
Геометрические задачи на доказательство
Условие
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рис.). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рис.). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Решение
- 1
Из условия задачи имеем, что $BD=BE$. Это значит, что треугольник $BDE$ равнобедренный, так как две его стороны равны.
- 2
Пусть угол при основании равнобедренного треугольника $BDE$ равен $x$. Тогда, поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, смежные с углом $x$ углы равны $180^{\circ}-x$. Таким образом, получаем: $\angle BEC=\angle BDA=180^{\circ}-x$.
- 3
Из условия также дано, что $AD=CE$.
Таким образом, в треугольнике $BDA$ имеем стороны $BD$ и $AD$, а в треугольнике $BEC$ – стороны $BE$ и $CE$. По условию $BD=BE$, и включенные углы $\angle BDA$ и $\angle BEC$ равны (оба равны $180^{\circ}-x$). Применяя признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), делаем подстановку: $BD=BE$, $AD=CE$, $\angle BDA=\angle BEC$, и заключаем, что треугольники $BDA$ и $BEC$ равны. - 4
Из равенства треугольников $BDA$ и $BEC$ следует, что соответствующие стороны равны, в частности, $AB=BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.
Ответ: треугольник ABC — равнобедренный