Задание 24 — №353162
Геометрические задачи на доказательство
Условие
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $BB_1C_1$ и $BCC_1$ равны.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB_1 и CC_1. Докажите, что углы BB_1C_1 и BCC_1 равны.
Решение
- 1
Построим $\triangle ABC$ и проведём в нём высоты $BB_1$ и $CC_1$, где точка $B_1$ является основанием высоты из $B$, а точка $C_1$ --- основанием высоты из $C$. Поскольку $BB_1 \perp AC$ и точка $C$ лежит на прямой $AC$, угол $CB_1B$ равен $90^\circ$.
- 2
Аналогично, так как $CC_1 \perp AB$ и точка $C_1$ находится на прямой $AB$, в треугольнике $CC_1B$ угол $BC_1C$ равен $90^\circ$.
- 3
В прямоугольных треугольниках $CBB_1$ и $CC_1B$ гипотенуза $BC$ общая. По теореме Талеса (если в треугольнике угол равен $90^\circ$, то вершина этого угла лежит на окружности с диаметром, равным гипотенузе) точки $B$, $C$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной окружности с диаметром $BC$.
- 4
Углы $BB_1C_1$ и $BCC_1$ вписаны в эту окружность и опираются на одну и ту же дугу $BC_1$. По свойству вписанных углов (вписанный угол равен половине величины дуги, на которую он опирается) получаем, что $\angle BB_1C_1 = \angle BCC_1$.
Ответ: $$\angle BB_1C_1 = \angle BCC_1$$