Задание 24 — №340906
Геометрические задачи на доказательство
Условие
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причем точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD $\perp$ EF.
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причем точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD ⊥ EF.
Решение
- 1
Так как точка $C$ и точка $D$ лежат на окружности с центром в точке $E$, по определению окружности все радиусы равны, то есть $EC=ED$. Согласно теореме: если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит его серединному перпендикуляру, откуда следует, что $E$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$.
- 2
Аналогичным образом, так как точки $C$ и $D$ принадлежат окружности с центром в точке $F$, получаем $FC=FD$. Применяя ту же теорему, делаем вывод, что $F$ также находится на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$.
- 3
Поскольку точки $E$ и $F$ расположены по одну сторону от прямой, содержащей отрезок $CD$, их серединные перпендикуляры совпадают. Это означает, что прямая, проходящая через точки $E$ и $F$, то есть прямая $EF$, является серединным перпендикуляром к отрезку $CD$.
- 4
По определению серединного перпендикуляра, он пересекает отрезок под прямым углом, то есть $CD \perp EF$.
Ответ: $$CD \perp EF$$