Задание 24 — №340341

Рассмотрим треугольники $AEB_{1}$ и $BEA_{1}$.

Заметим, что точки $B$, $E$ и $B_{1}$ лежат на прямой, по которой проведена высота из $B$, то есть на прямой $BB_{1}$; поскольку $B_{1}$ находится на прямой $AC$, где лежит точка $A$, получаем, что линия $BB_{1}$ перпендикулярна прямой $AC$.

Поэтому $ \angle AB_{1}E=90^\circ$. Аналогичным образом, точки $A$, $E$ и $A_{1}$ лежат на прямой $AA_{1}$ (высота из $A$), которая перпендикулярна стороне $BC$, содержащей точку $B$.

Отсюда $ \angle BA_{1}E=90^\circ$.

Заметим, что углы $\angle AEB_{1}$ и $\angle BEA_{1}$ являются вертикальными (при пересечении прямых, проходящих через $E$), а значит, они равны: $\angle AEB_{1}=\angle BEA_{1}$. Таким образом, в каждом из треугольников имеется прямой угол и равный угол, что по критерию равенства углов (признак AA) гарантирует их подобие.

Из подобия треугольников $AEB_{1}$ и $BEA_{1}$ следует равенство отношений соответствующих сторон: $$\frac{EB_{1}}{EA_{1}}=\frac{AE}{EB}.$$

Рассмотрим теперь треугольники $EB_{1}A_{1}$ и $AEB$. Здесь углы $\angle AEB$ и $\angle B_{1}EA_{1}$ равны как вертикальные, а соотношение $$\frac{EB_{1}}{AE}=\frac{EA_{1}}{EB}$$, выведенное из предыдущей пропорции, доказывает подобие этих треугольников. Из подобия следует равенство соответствующих углов, откуда получаем $\angle AA_{1}B_{1}=\angle ABB_{1}$.