Задание 24 — №339384
Геометрические задачи на доказательство
Условие
Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
Решение
- 1
Обозначим треугольник $ABC$, а точку $M$ выберем на стороне $AC$ так, что $M$ является серединой $AC$, то есть $AM = MC$. Это свойство медианы.
- 2
Проведем медиану $BM$ и опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AC$. По формуле площади треугольника $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота},$$ получаем общий вид вычисления площади.
- 3
Для треугольника $ABM$ подставляем основание $AM$ и высоту $BH$: $$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH.$$
- 4
Аналогично, для треугольника $BMC$ с основанием $MC$ и той же высотой $BH$ получаем: $$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot BH.$$
- 5
Так как $AM = MC$, то по подстановке получаем, что $S_{ABM} = S_{BMC}$. Таким образом, медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Ответ: S_ABM=S_BMC