Задание 24 — №311969

Пусть $O$ --- центр окружности с диаметром $d$, а точки $M$, $N$ и $K$ --- точки касания окружности с прямыми $AC$, $AB$ и $BC$ соответственно. По свойству касательной, проведённой к окружности, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть $OM \perp AC$ и $OK \perp BC$.

Так как в треугольнике $ABC$ угол при вершине $C$ равен $90^\circ$, то угол между прямыми $AC$ и $BC$ равен $90^\circ$. Поскольку $OM \perp AC$ и $OK \perp BC$, то в четырехугольнике $OMCK$ углы при точках $M$, $K$ и $C$ равны $90^\circ$. По свойству четырехугольника с тремя прямыми углами, четвёртый угол тоже равен $90^\circ$, следовательно, $OMCK$ --- прямоугольник.

В прямоугольнике $OMCK$ стороны $OM$ и $OK$ являются радиусами окружности и, следовательно, равны ($OM=OK=\frac{d}{2}$). По свойству прямоугольника, если смежные стороны равны, то он представляет собой квадрат. Отсюда получаем, что $MC=MO=\frac{d}{2}$.

Из основного свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, знаем, что из точки $A$ отрезки $AM$ и $AN$ равны ($AM=AN$), из точки $B$ отрезки $BN$ и $BK$ равны ($BN=BK$), а из точки $C$ отрезки $CM$ и $CK$ равны ($CM=CK$).

Так как окружность касается стороны $AB$ треугольника, точка касания $N$ делит $AB$ на отрезки $AN$ и $BN$.

При этом точки $M$ и $K$ лежат на продолжениях прямых $AC$ и $BC$ за точки $A$ и $B$, соответственно, поэтому длины сторон треугольника можно выразить с учетом разности: $AC=MC-AM$ и $BC=CK-BK$, а $AB=AN+BN$.

Подставляя равенство касательных ($AM=AN$ и $BK=BN$) и учитывая, что $CM=CK$, получаем:

$$P=(AN+BN)+(MC-AM)+(CK-BK)=MC+CK=2MC.$$

Подставляя найденное значение $MC=\frac{d}{2}$, получаем: $$P=2\cdot\frac{d}{2}=d.$$ Таким образом, периметр треугольника $ABC$ равен диаметру окружности.