Задание 24 — №311773
Геометрические задачи на доказательство
Условие
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A , C , центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A , C , центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
Решение
- 1
Обозначим центр описанной окружности треугольника $ABC$ через $O$ и точку пересечения высот через $H$.
- 2
По центральной угловой теореме (угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла) получаем: $\angle AOC = 2\angle ABC$. Подставляем: $\angle AOC = 2\cdot 60\degree = 120\degree$.
- 3
По свойству вписанного угла (вписанный угол равен половине разности длины дуги, на которую он опирается) получаем: $\angle AHC = 180\degree - \angle ABC$. Подставляем: $\angle AHC = 180\degree - 60\degree = 120\degree$.
- 4
Так как $\angle AOC = \angle AHC = 120\degree$, точки $A$, $C$, $O$ и $H$ лежат на одной окружности.
Ответ: Таким образом, точки A, C, O и H лежат на одной окружности.