Задание 24 — №311669
Геометрические задачи на доказательство
Условие
В треугольнике ABC угол $B$ равен 36°, $AB = BC$, $AD$ — биссектриса. Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.
В треугольнике ABC угол B равен 36°, AB = BC, AD — биссектриса. Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.
Решение
- 1
Шаг 1. Так как в треугольнике $ABC$ выполнено $AB = BC$, по определению равнобедренного треугольника углы при основании равны. Напомним, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. При известном угле $\angle B = 36^{\circ}$ вычисляем углы при основании: $$\angle ACB = \angle BAC = \frac{180^{\circ}-36^{\circ}}{2} = \frac{144^{\circ}}{2} = 72^{\circ}.$$
- 2
Шаг 2. Поскольку $AD$ является биссектрисой угла $A$ в треугольнике $ABC$, по определению биссектрисы угол $A$ делится на две равные части. Подставляем найденное значение $\angle BAC = 72^{\circ}$ в формулу для биссектрисы: $$\angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ}.$$
- 3
Шаг 3. Рассмотрим треугольник $ABD$. Из предыдущих шагов имеем, что $\angle BAD = 36^{\circ}$, а угол при вершине $B$ в этом треугольнике равен углу $\angle ABC = 36^{\circ}$, так как точка $D$ лежит на стороне $BC$. По теореме: если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный, следовательно, треугольник $ABD$ равнобедренный.
Ответ: треугольник ABD — равнобедренный