Задание 24 — №311665

Пусть $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$, а $A_1K_1$ — биссектриса треугольника $A_1B_1C_1$. Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, то по признаку равенства треугольников получаем $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$, откуда соответствующие стороны и углы равны, например, $AB = A_1B_1$ и $\angle A = \angle A_1$.

Так как $AK$ является биссектрисой угла $A$, она делит угол $A$ на две равные части: $\angle BAK = \angle KAC$. Аналогично, биссектриса $A_1K_1$ делит угол $A_1$: $\angle B_1A_1K_1 = \angle K_1A_1C_1$. Из равенства углов $\angle A = \angle A_1$ следует, что $\angle BAK = \angle B_1A_1K_1$.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $A_1B_1K_1$. В них сторона $AB = A_1B_1$ (из равенства треугольников), а угол при вершине $B$ в первом треугольнике совпадает с углом при вершине $B_1$ во втором, так как $\angle B = \angle B_1$. Тогда по второму признаку равенства треугольников (равенство одной стороны и двух прилежащих углов) получаем $\triangle ABK \cong \triangle A_1B_1K_1$.

Из равенства треугольников $ABK$ и $A_1B_1K_1$ следует, что соответствующие стороны равны, в частности, $AK = A_1K_1$. Это и требовалось доказать.