Задание 24 — №311606

Геометрические задачи на доказательство

Треугольники и их элементыФИПИ: 7.3 Многоугольники

Условие

Два равных прямоугольника имеют общую вершину O (см. рис.). Докажите, что площади треугольников AOK и COM равны.

Два равных прямоугольника имеют общую вершину O (см. рис.). Докажите, что площади треугольников AOK и COM равны.

1
Так как прямоугольники равны, их соответствующие стороны равны. Тогда получаем, что $AO=OM$ и $OK=OC$.
2
В каждом прямоугольнике угол при вершине $O$ равен $90^\circ$, то есть $\angle AOC=90^\circ$ и $\angle MOK=90^\circ$.
3
Сумма углов, исходящих из точки, равна $360^\circ$. Выразим угол между сторонами треугольника $AOK$ через остальные углы: $$\angle AOK=360^\circ-\angle AOC-\angle MOK-\angle MOC=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle MOC=180^\circ-\angle MOC.$$
4
Применяем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: $$S=\frac{1}{2}ab\sin\theta.$$ Таким образом, для треугольника $AOK$ получаем $$S_{AOK}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot OK\cdot \sin(\angle AOK),$$ а для треугольника $MOC$ – $$S_{MOC}=\frac{1}{2}\cdot MO\cdot OC\cdot \sin(\angle MOC).$$
5
Подставляя равенство сторон $AO=MO$ и $OK=OC$, а также учитывая, что $\angle AOK=180^\circ-\angle MOC$ и по свойству синуса $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$, получаем равенство площадей: $$S_{AOK}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot OK\cdot \sin(\angle AOK)=\frac{1}{2}\cdot MO\cdot OC\cdot \sin(\angle MOC)=S_{MOC}.$$

Ответ: S_{AOK}=S_{MOC}