Задание 20 — №472412

Сначала представим выражение $x^2-64$ в виде разности квадратов. По формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ при подстановке $a=x$ и $b=8$ получаем: $$x^2-64=(x-8)(x+8).$$

Подставляем разложение в исходное неравенство: $$ (8-x)(x^2-64) \geq 0 $$ превращается в $$ (8-x)(x-8)(x+8) \geq 0. $$

Заметим, что $$8-x=-(x-8),$$ поэтому перепишем выражение в виде: $$-(x-8)^2(x+8) \geq 0.$$

Умножая неравенство на $-1$ (при этом меняется знак неравенства, согласно правилу умножения неравенства на отрицательное число), получаем: $$ (x-8)^2(x+8) \leq 0.$$

Так как $$ (x-8)^2\geq 0 $$ для любого $x$, то неравенство $$ (x-8)^2(x+8) \leq 0 $$ выполняется, если $x+8\leq 0$ или если $(x-8)^2=0$. Из условия $x+8\leq 0$ следует $x\leq -8$, а равенство $(x-8)^2=0$ дает $x=8$. Таким образом, решение неравенства: $$(-\infty, -8] \cup \{8\}.$$