Задание 20 — №314574

Шаг 1: Умножим обе части неравенства $\frac{11x-4}{5} \geq \frac{x^2}{2}$ на $10$ (наименьшее общее кратное знаменателей $5$ и $2$), получим: $$10 \cdot \frac{11x-4}{5} \geq 10 \cdot \frac{x^2}{2}$$, то есть $$2(11x-4) \geq 5x^2.$$

Шаг 2: Раскроем скобки в левой части: $$2(11x-4)=22x-8.$$ Перенесём все члены неравенства в одну сторону: $$22x-8 \geq 5x^2 \Longrightarrow 5x^2-22x+8 \leq 0.$$

Шаг 3: Разложим квадратный трёхчлен $5x^2-22x+8$ на множители. Для этого представим его в виде: $$5x^2-22x+8=5x^2-20x-2x+8.$$ Вынесем общий множитель в первых двух и последних двух слагаемых: $$5x(x-4)-2(x-4)=(5x-2)(x-4).$$ Заметим, что $5x-2=5\left(x-\frac{2}{5}\right)$, откуда получаем окончательное разложение: $$5x^2-22x+8=5\left(x-\frac{2}{5}\right)(x-4).$$

Шаг 4: Так как коэффициент $5$ положительный, неравенство $$5\left(x-\frac{2}{5}\right)(x-4)\leq0$$ эквивалентно $$\left(x-\frac{2}{5}\right)(x-4)\leq0.$$ Произведение двух множителей меньше или равно нулю, если они имеют разные знаки или хотя бы один из них равен нулю. Это происходит, если $$x\in\left[\frac{2}{5},4\right],$$ где $$\frac{2}{5}=0,4.$$