Задание 20 — №177

Записываем заданное неравенство: $\frac{x^2}{3} < \frac{3x+3}{4}$. Поскольку знаменатели $3$ и $4$ положительные, умножаем обе части неравенства на $12$. Получаем: $4x^2 < 9x+9$.

Переносим все слагаемые в левую часть: $4x^2 - 9x - 9 < 0$.

Решаем квадратное уравнение $4x^2-9x-9=0$ методом дискриминанта: $$x=\frac{9\pm\sqrt{81+144}}{8}=\frac{9\pm\sqrt{225}}{8}=\frac{9\pm15}{8}.$$ Получаем корни: $x_1=\frac{9-15}{8}=-0{,}75$ и $x_2=\frac{9+15}{8}=3$.

Так как коэффициент при $x^2$ равен $4>0$, парабола направлена ветвями вверх, и выражение отрицательно строго между корнями. Неравенство $4x^2-9x-9 < 0$ выполняется при $-0{,}75 < x < 3$.