Задание 20 — №314563

Начинаем с исходного неравенства: $ (x-3)(2x+3) < -7 $. Раскроем скобки по правилу распределения: $$ (x-3)(2x+3)= 2x^2+3x-6x-9 = 2x^2-3x-9. $$ Таким образом получаем неравенство: $ 2x^2-3x-9 < -7 $.

Переносим число $7$ в левую часть неравенства, чтобы привести его к стандартному виду: $$ 2x^2-3x-9+7 < -7+7, $$ получаем: $ 2x^2-3x-2 < 0 $.

Рассмотрим выражение $ 2x^2-3x-2 $. Найдём его разложение на множители. Пробуем разложить его в виде $ 2(x+\frac{1}{2})(x-2) $, так как: $$ 2(x+\frac{1}{2})(x-2)= 2\left( x\cdot x -2x+\frac{1}{2}x-1 \right)= 2x^2-3x-2. $$ Получаем неравенство: $ 2(x+\frac{1}{2})(x-2) < 0 $. Так как $2>0$, делим обе части на $2$, не меняя знак неравенства, и получаем: $ (x+\frac{1}{2})(x-2)<0 $.

По свойству произведения (если произведение двух чисел меньше $0$, то один множитель положительный, а другой отрицательный), находим нули: $ x+\frac{1}{2}=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} $ и $ x-2=0 \Rightarrow x=2 $. Анализируя знаки на промежутках, убеждаемся, что неравенство $ (x+\frac{1}{2})(x-2)<0 $ выполняется при $ -\frac{1}{2}<x<2 $.