Задание 20 — №472415

Исходное неравенство: $x \leq \frac{9}{x}$. Перенесём $\frac{9}{x}$ в левую часть, получим: $x - \frac{9}{x} \leq 0$.

Приведём левую часть неравенства к общему знаменателю: $x - \frac{9}{x} = \frac{x^2 - 9}{x}$. Тогда неравенство принимает вид: $\frac{x^2 - 9}{x} \leq 0$.

Разложим числитель $x^2 - 9$ по формуле разности квадратов: по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ при $a=x$ и $b=3$ получаем: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$. Теперь неравенство можно записать в виде: $\frac{(x-3)(x+3)}{x} \leq 0$.

Найдём критические точки: при $x-3=0$ получаем $x=3$, при $x+3=0$ получаем $x=-3$, а также отмечаем, что $x=0$ (знаменатель равен нулю) недопустим. Эти точки разделяют числовую прямую на интервалы: $(-\infty,-3)$, $(-3,0)$, $(0,3)$ и $(3,\infty)$. Методом интервалов определяем знак выражения $\frac{(x-3)(x+3)}{x}$ на каждом интервале.

Анализируя интервалы, приходим к выводу, что неравенство $\frac{(x-3)(x+3)}{x} \leq 0$ выполняется при $x \in (-\infty,-3]$ и $x \in (0,3]$, поскольку при $x=0$ выражение не определено.