Задание 20 — №472409

Запишем исходное неравенство: $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{x-4}$. Учтем, что $x \neq 0$ и $x-4 \neq 0$, так как знаменатели не могут равняться нулю.

Перенесем правую часть в левую: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x-4} \geq 0$. Приведем дроби к общему знаменателю, используя формулу $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$. Подставляя $a = 1$, $b = x$, $c = 1$, $d = x-4$, получаем: $$\frac{1\cdot(x-4) - 1\cdot x}{x(x-4)} = \frac{x-4-x}{x(x-4)} = \frac{-4}{x(x-4)}$$, таким образом, неравенство принимает вид: $\frac{-4}{x(x-4)} \geq 0$.

Умножим обе части неравенства $\frac{-4}{x(x-4)} \geq 0$ на отрицательное число $-1$ (по свойству неравенств, при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется): получаем $\frac{4}{x(x-4)} \leq 0$.

Так как число $4$ всегда положительно, неравенство $\frac{4}{x(x-4)} \leq 0$ эквивалентно тому, что знаменатель должен быть отрицательным: $x(x-4) < 0$.

Решим неравенство $x(x-4) < 0$. Произведение двух множителей меньше нуля, если один из них положителен, а другой отрицателен. Это условие выполняется, когда $x$ находится между нулем и $4$, то есть $0 < x < 4$.