Задание 20 — №472406

Запишем исходное неравенство: $\frac{x^2}{x-3} \leq x$. Обратим внимание, что выражение определено при $x \neq 3$.

Перенесем $x$ в левую часть неравенства: $\frac{x^2}{x-3} - x \leq 0$. Приведем к общему знаменателю $x-3$: получим $\frac{x^2 - x(x-3)}{x-3} \leq 0$.

Рассмотрим числитель. Раскроем скобки: $x^2 - x(x-3) = x^2 - x^2 + 3x = 3x$. Тогда неравенство принимает вид: $\frac{3x}{x-3} \leq 0$.

Так как $3 > 0$, разделим обе части неравенства на $3$ (при этом знак неравенства сохраняется): $\frac{x}{x-3} \leq 0$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем критические точки: $x=0$ (при числителе) и $x=3$ (при знаменателе, выражение не определено).
Для $x < 0$: числитель $x$ отрицательный, знаменатель $x-3$ отрицательный, их отношение положительное.
Для $0 < x < 3$: числитель положительный, знаменатель отрицательный, отношение отрицательное.
Для $x > 3$: числитель положительный, знаменатель положительный, отношение положительное.
Таким образом, неравенство $\frac{x}{x-3} \leq 0$ выполняется, когда $\frac{x}{x-3} = 0$ (при $x=0$) или $\frac{x}{x-3} < 0$ (при $0 < x < 3$). Получаем решение: $0 \leq x < 3$.