Задание 20 — №472402

Записываем исходное неравенство: $\frac{x^2 - 8x + 15}{x - 3} \leq 0$.

Разложим числитель по схеме факторизации квадратного трёхчлена. По формуле $(x-p)(x-q)=x^2-(p+q)x+pq$, подставляя $p=3$ и $q=5$, получаем: $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$. Тогда неравенство примет вид: $\frac{(x-3)(x-5)}{x-3} \leq 0$.

Так как знаменатель не должен равняться нулю, вводим условие: $x-3\neq 0$, то есть $x\neq 3$. При $x\neq 3$ можно сократить общий множитель $(x-3)$ в числителе и знаменателе: $\frac{(x-3)(x-5)}{x-3}=x-5$. Таким образом, неравенство сводится к $x-5 \leq 0$ при $x\neq 3$.

Решим неравенство $x-5 \leq 0$. Добавим $5$ к обеим частям (свойство неравенств): $x \leq 5$.

Учитывая условие $x\neq 3$, окончательное решение неравенства представляется в виде двух интервалов: все $x$, удовлетворяющие $x<3$, и $3<x\leq 5$. Это записывается как $(-\infty;3)\cup (3;5]$, что соответствует ответу.